Erdkrümmungsrechner
Horizont, Sichtlinie und Verdeckung
Der geometrische Horizont ist der Punkt, an dem die Sichtlinie des Beobachters die kugelförmige Erde gerade berührt. Diese Linie ist eine Tangente. Mit zunehmender Beobachterhöhe rückt der Horizont weiter weg.
Hinter dem Horizont kann die Erde den unteren Teil eines Objekts verdecken. Die verdeckte Höhe h1 wird am Ziel radial gemessen, also entlang der lokalen Senkrechten zur Kugeloberfläche. Sie reicht bis zur Sichtbarkeitsschwelle. Vor oder auf dem Horizont ist h1 null.
Blau zeigt die gewählte Messstrecke d0, die gestrichelte Linie die Horizonttangente und Orange die Verdeckung. Bei der geraden Strecke liegt der Zielfußpunkt radial unter dem Messstreckenende Q.
Exakte Kugelgeometrie für beide Strecken
R ist der Erdradius, h0 die Beobachterhöhe und d0 die Eingabeentfernung. Alle Längen in den Formeln verwenden dieselbe Einheit; Winkel werden im Bogenmaß angegeben.
α = arccos(R / (R + h0))
ℓ = √(h0 · (2R + h0))
α ist der Horizontwinkel, ℓ die gerade Entfernung vom Beobachter zum Horizont.
Gerade Tangentenstrecke (Standard)
d0 verläuft vom Beobachter entlang der Horizonttangente bis Q. Mit q = d0 − ℓ gilt:
d1 = ℓ
h1 = 0 für q ≤ 0
h1 = √(R² + q²) − R für q > 0
Hinter dem Horizont ist Q die Sichtbarkeitsschwelle am Ziel. Davor ist Q nur das Messstreckenende; die Verdeckung bleibt null.
Oberflächenbogen
d0 ist die Bogenlänge auf der Erde zwischen Beobachterfußpunkt und Zielfußpunkt.
d1 = R · α
δ = max(0, d0 / R − α)
h1 = R · (1 / cos(δ) − 1)
Beide Berechnungen sind exakt für ihre jeweilige Streckendefinition. Im Programm werden algebraisch gleichwertige, numerisch stabile Formen verwendet, keine Näherungsformeln. Dieselbe Zahl für d0 beschreibt in den beiden Modi unterschiedliche geometrische Situationen.
Beispiel: 1 m Höhe und 80 km gerade Strecke
Für eine Beobachterhöhe von 1 m, eine gerade Tangentenstrecke von 80 km und R = 6.371.000 m ergibt sich eine geometrisch verdeckte Höhe von 458,436 m (auf drei Nachkommastellen gerundet).
Die gerade Horizontentfernung beträgt rund 3.569,594 m. Ein radial aufragendes Objekt am Zielfußpunkt müsste höher als die berechnete Verdeckung sein, damit sein oberer Teil über die geometrische Horizontlinie ragt. Das Beispiel ist fest und verändert die Eingaben nicht.
Modell und Aussagegrenzen
Die Erde wird als ideale Kugel mit einem Radius von 6.371 km modelliert. Atmosphärische Refraktion wird nicht berücksichtigt.
Reale Beobachtungen können unter anderem durch Gelände, die Abweichung der Erdform von einer Kugel, atmosphärische Lichtbrechung und Sichtbedingungen vom Modell abweichen. Die berechnete Verdeckung beschreibt ausschließlich die geometrische Situation.
Modellgrenzen dieses Rechners: Beobachterhöhe 0–500 km, Zielentfernung 0–5.000 km. h1 ist eine radiale Höhe.